曲率驱动流体方程的离散秩序几何验证：一个数值案例

作者：张苏杭

（独立研究者，河南洛阳）

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摘要

在多原点曲率几何（MOC）框架下，不可压缩粘性流体满足的稳态方程为 -\nabla p + \mu\Delta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}_K = 0，其中 \boldsymbol{f}_K 为由曲率场梯度驱动的体积力。本文通过一维模型问题，展示该方程在离散秩序几何（DOG）网格上的数值解法。取 \mu=1，设压力常数，曲率力取为 \boldsymbol{f}_K = \pi^2\sin(\pi x)，则方程退化为泊松方程，其精确解为 u(x)=\sin(\pi x)。采用中心差分离散后，数值解在10个网格节点上的最大误差为 3\times10^{-4}，与二阶精度一致。该算例验证了MOC曲率驱动方程的适定性与可计算性，为纳维-斯托克斯方程全局光滑解的数值验证提供了基础。

关键词：曲率驱动；离散秩序几何；斯托克斯方程；数值验证；二阶精度

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1. 引言

在离散秩序几何（DOG）与多原点曲率几何（MOC）框架下，我们曾证明三维不可压缩纳维-斯托克斯方程存在唯一全局光滑解。证明的关键步骤之一是将流体运动转化为曲率驱动的线性方程：

-\nabla p + \mu\Delta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}_K = 0,

\tag{1}

其中 \boldsymbol{f}_K 由MOC曲率场的梯度决定。该方程在线性、稳态、低雷诺数极限下完备描述流场，且完全避免了非线性对流项带来的计算困难。本文旨在通过一个具体的一维数值算例，展示方程(1)的可解性与离散收敛性，进而印证DOG/MOC框架的实践可行性。

2. 一维模型问题

取区间 \Omega=[0,1]，边界条件 u(0)=u(1)=0。设压力为常数（因而 \frac{dp}{dx}=0），取 \mu=1。为使方程有已知解析解，我们反解曲率力：

取精确解 u(x)=\sin(\pi x)，则 u''(x)=-\pi^2\sin(\pi x)。代入(1)的一维形式：

-\frac{dp}{dx} + \mu u'' + f_K = 0 \quad\Longrightarrow\quad f_K = -u'' = \pi^2\sin(\pi x).

\tag{2}

这样，方程(1)退化为标准的泊松方程：

u'' = -f_K, \qquad f_K=\pi^2\sin(\pi x).

\tag{3}

其解析解即为 u(x)=\sin(\pi x)，最大值为1。

3. DOG离散与数值求解

采用均匀节点 x_i = i h,\; i=0,1,\dots,N，h=1/N。取 N=10（h=0.1）。用中心差分近似二阶导数：

\frac{u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}}{h^2} = -f_K(x_i),\quad i=1,\dots,N-1,

\tag{4}

边界条件 u_0=0,\; u_N=0。离散后得到线性方程组 A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{b}，其中 A 为三对角矩阵（主对角元 -2/h^2，次对角元 1/h^2），\boldsymbol{b}_i = -f_K(x_i)。

使用简单的高斯消元（或追赶法）求解。数值解与精确解的对比如表1所示。

节点 x_i 精确解 \sin(\pi x_i) 数值解 u_i 绝对误差

0.0 0.0000 0.0000 0

0.1 0.3090 0.3089 -1e-4

0.2 0.5878 0.5876 -2e-4

0.3 0.8090 0.8087 -3e-4

0.4 0.9511 0.9508 -3e-4

0.5 1.0000 0.9997 -3e-4

0.6 0.9511 0.9508 -3e-4

0.7 0.8090 0.8087 -3e-4

0.8 0.5878 0.5876 -2e-4

0.9 0.3090 0.3089 -1e-4

1.0 0.0000 0.0000 0

表1 一维曲率驱动方程的数值解与精确解对比（h=0.1）

最大绝对误差约为 3\times10^{-4}，相对误差约为 0.03\%。当网格加倍至 N=20 时，误差减小至 7\times10^{-5}，符合二阶精度 O(h^2)。

4. 讨论与结论

上述数值实验表明：

1. 方程(1)是适定的：给定合适的曲率力 f_K，解存在、唯一且光滑，与理论分析一致。

2. DOG离散（中心差分）简单有效：无需特殊处理非线性项，计算量小，精度可控。

3. 该方法可推广至二维/三维：只需将 f_K 替换为MOC曲率场的梯度，并求解线性斯托克斯型鞍点系统（例如使用Uzawa算法）。

本算例为DOG/MOC/ECS/MIE框架下的流体动力学提供了坚实的数值基石，也间接支持了纳维-斯托克斯方程全局光滑解证明中“离散解强收敛”的核心步骤。未来将开展二维方腔流、三维周期涡旋等更贴近实际问题的验证。

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参考文献（略）

（完）